uplift建模之元学习器

1. 辛普森悖论

辛普森悖论描述的是，当我们尝试探究两种变量（比如新生录取率与性别）是否具有相关性的时候，会分别对之进行分组研究。然而，在分组比较中都占优势的一方，在总评中有时反而是失势的一方。

我们以新生录取率与性别的关系研究为例，美国一所大学在招生时进行了一项统计，结果如下

学院	女生申请人数	女生录取人数	女生录取率	男生申请人数	男生录取人数	男生录取率	合计申请	合计录取	合计录取率
商学院	100	49	49%	20	15	75%	120	64	53.3%
法学院	20	1	5%	100	10	10%	120	11	9.2%
总计	120	50	42%	120	25	21%	240	75	31.3%

可以发现，无论是在商学院还是在法学院，男生的录取率都是高于女生录取率的，但是在计算的总的录取率时，却发现，女生的录取率高出男生录取率一倍。这个现象就是统计上著名的辛普森悖论(Simpson’s Paradox)

2. 为什么要做因果推断

顾名思义，因果推断就是研究因果关系，通过当前的结果，来发现导致当前结果的原因。例如，在互联网广告场景中，我们在网页上投放了某个智能手机的广告，在接下来的一周时间里，发现该智能手机的流量得到了提升，但是该部分流量到底是不是由于投放了广告带来的，我们就需要通过因果推断来确定。另一个例子是，我们只有1000个购买智能手机的优惠券，要怎么找到对优惠券最敏感的1000个用户呢？即如何找到1000个这样的用户，使得他们在没有优惠券时的购买意愿较低，而在得到优惠券之后的购买意愿显著提高？这就是因果推断需要解决的问题。

3. uplift model

Uplift model是一种用于因果推断的模型，它能够通过分析不同组的用户，来判断哪个组的用户对施加的干预效应产生更明显的回应。uplift 中常用的元学习器（meta learner）方法有：S-learner，T-learner，X-learner，R-learner下面对他们进行逐一介绍。

首先我们假设有如下包含n个实例的数据集

$ID$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$T$	$Y$
$0$	$x_{0,1}$	$x_{0,2}$	$x_{0,3}$	$x_{0,4}$	$x_{0,5}$	$x_{0,6}$	0	1
$1$	$x_{1,1}$	$x_{1,2}$	$x_{1,3}$	$x_{1,4}$	$x_{1,5}$	$x_{1,6}$	0	0
$2$	$x_{2,1}$	$x_{2,2}$	$x_{2,3}$	$x_{2,4}$	$x_{2,5}$	$x_{2,6}$	0	0
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$k-1$	$x_{k-1,1}$	$x_{k-1,2}$	$x_{k-1,3}$	$x_{k-1,4}$	$x_{k-1,5}$	$x_{k-1,6}$	0	0
$k$	$x_{k,1}$	$x_{k,2}$	$x_{k,3}$	$x_{k,4}$	$x_{k,5}$	$x_{k,6}$	1	1
$k+1$	$x_{k+1,1}$	$x_{k+1,2}$	$x_{k+1,3}$	$x_{k+1,4}$	$x_{k+1,5}$	$x_{k+1,6}$	1	0
$k+2$	$x_{k+2,1}$	$x_{k+2,2}$	$x_{k+2,3}$	$x_{k+2,4}$	$x_{k+2,5}$	$x_{k+2,6}$	1	1
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n$	$x_{n,1}$	$x_{n,2}$	$x_{n,3}$	$x_{n,4}$	$x_{n,5}$	$x_{n,6}$	1	0

其中$x_{1},...,x_{6}$为协变量或称为混淆变量；$T$为干预变量，即是否对该个体实施了策略干预；$Y$为因变量或称为响应变量，它反映了在当前策略下，该个体最后的行为结果。例如在前面发放优惠券的例子中，是否对个体发放优惠券就是我们的干预策略，而个体最后是否购买就是最后的行为结果，个体的性别、年龄、文化水平等特征构成混淆变量。

3.1 S-learner

S-learner 中的S是Single的意思，是指只使用一个模型来完成预测。其具体的操作步骤如下：

• Step1：选择一个基模型（如逻辑回归、XGBoost等），将所有数据和特征（包括所有的协变量$x_{i}$和干预变量$T$）输入模型，得到预测模型

$$\mu(x,T) = \mathbb{E} [Y|X=x,T=t]$$

• Step2：将所有个体的干预变量的取值设为0，得到不进行干预时的数据集$D_0$；再将所有个体的干预变量的取值设为1，得到进行干预时的数据集$D_1$。分别将$D_0$和$D_1$输入模型，得到两组预测结果$\mu(x,0)$和$\mu(x,1)$。然后计算干预后和干预前的差值，这个值即为uplift增量

$$\hat\tau_S(x) = \hat\mu (x,1) - \hat\mu(x,0)$$

S-learner的优点如下：

• 1. 简单易实施，S-learner只需要一个预测模型，使得它在实践中易于使用，且避免了多模型的误差累积。
• 2. 可以灵活选择模型，S-learner可以与各种预测模型（如线性回归、决策树、神经网络等）配合使用，这使得它在处理各种类型的数据集（如连续、分类、高维度等）时具有很高的灵活性。
• 3. 能处理非线性（通过选择模型）和交互效应（通过特征工程），由于S-learner可以使用非线性模型，因此它能够捕捉到处理效应与协变量之间的非线性关系和交互效应。

S-learner的缺点如下：

• 1. 可能引入偏差，由于S-learner使用同一个模型来预测处理和对照条件下的结果，如果模型对处理变量的拟合不足或过度拟合，可能会引入偏差。
• 2. 处理效应的估计可能不准确：S-learner通过预测每个个体在处理和对照条件下的潜在结果来估计处理效应。然而，由于我们无法同时观察到同一个个体的这两种潜在结果，因此这种估计可能存在不确定性。
• 3. 可能忽视异质性处理效应：S-learner通常假设处理效应是均匀的，但在许多情况下，处理效应可能因个体或上下文的不同而有所不同。虽然可以通过添加交互项来部分解决这个问题，但这会增加模型的复杂性和计算负担。

3.2 T-learner

T-learner 中的T是Two的意思，是指使用两个模型来完成预测。其具体的操作步骤如下：

• Step1：首先我们记原有数据集为$D$，将$D$分为两个子集$D_0$和$D_1$，其中$D_0$包含所有的对照样本（即干预变量T取值为0的样本），$D_1$包含所有进行干预的样本（即干预变量T取值为1的样本）。然后，我们分别基于$D_0$和$D_1$训练两个模型$\mu_0(x)$和$\mu_1(x)$，在分别训练模型时，不需要输入干预变量$T$对应的列。

$$\mu_{0} (x) = \mathbb{E}[Y(T=0)|X=x]\\ \mu_{1} (x) = \mathbb{E}[Y(T=1)|X=x]$$

• Step2：将原数据集去除干预变量列之后分别输入$\mu_{0}$和$\mu_{1}$得到两组预测结果$\hat\mu_{0}(x)$和$\hat\mu_{1}(x)$，然后做差得到干预后相对干预前的增量

$$\hat\tau_{T} = \hat\mu_{0}(x) - \hat\mu_{1}(x)$$

T-learner的优点：

• 1. 可以处理异质性效应：T-Learner能够更好地捕捉异质性处理效应，因为它为每个组别分别建立模型，从而能够单独学习每个状态下的数据模式。
• 2. 可以灵活选择模型，可以为实验组和对照组选择最适合其数据特征的模型，这意味着可以针对不同的数据分布选择不同的算法（例如决策树、随机森林、梯度提升机、神经网络等）。
• 3. 易于理解和实施：T-Learner的概念直观且易于实施，因为它只需要按照处理状态分割数据集，并分别训练两个模型。

T-learner的缺点：

• 1. 数据利用效率低，由于T-Learner为两个组别分别建立模型，每个模型只使用了一部分数据（实验组或对照组），这可能导致模型在数据较少的情况下表现不佳。
• 2. 可能的过拟合风险，如果实验组和对照组的样本量不平衡，特别是当其中一组的样本量很小时，相应的模型可能会过拟合，影响处理效应的准确估计。
• 3. 计算成本较高，与S-learner相比，T-Learner需要训练两个模型，特别是在使用复杂模型时，会增加计算成本和时间。
• 4. 模型不一致，如果实验组和对照组使用了不同的模型类型或参数设置，可能导致两个模型的预测结果不具有可比性，从而影响干预效应估计的准确性。
• 5. 协变量平衡问题，如果实验组和对照组在协变量上存在差异，单独建立模型可能无法充分控制这些差异，从而可能导致估计偏差。

3.3 X-learner

X-learner中的X是交叉的意思，它先将干预组的数据放到对照组的模型中，再将对照组的数据放到干预组的模型中，分别得到一组伪标签，然后基于伪标签再进行一次训练，最后利用倾向性得分加权后求平均得到平均干预效应的估计。具体的步骤如下：

• Step1：首先我们记原有数据集为$D$，混淆变量为$X$，标签值为$Y$；现将$D, X, Y$都按照干预变量$T$的取值划分为两个子集$D_0$和$D_1$，$X_{0}$和$X_{1}$，$Y_{0}$和$Y_{1}$。

• Step2：对treatment组和control组分别训练模型$\mu_{0}(x)$和$\mu_{1}(x)$

$$\mu_{0}(x) = \mathbb{E}[Y_{0}|X=x] \\ \mu_{1}(x) = \mathbb{E}[Y_{1}|X=x]$$

• Step3：将contro组的特征输入treatment组训练的模型中，即得到control组如果受到干预，会得到的结果；然后用预测结果减去真实标签值，得到uplift值的估计，其含义是control组如果受到干预，会比原来多出的期望值。

$$\hat{D_{0}} = \hat\mu_{1}(X_{0})-Y_{0}$$

反之，将treatment组的特征输入control组训练的模型中，即得到treatment组如果没有受到干预，会得到的结果，再用真实标签值减去预测值，得到uplift值得估计，其含义是treatment组如果没有受到干预，会比原来少的期望值

$$\hat{D_{1}} = Y_{1} - \hat\mu_{0}(X_{1})$$

• Step4：然后以$\hat{D_{0}}$和$\hat{D_{1}}$为目标值，再建立两个预测模型

$$\tau_{0}(x) = \mathbb{E}[D_{0}|X=x] \\ \tau_{1}(x) = \mathbb{E}[D_{1}|X=x]$$

• Step5：利用倾向性得分加权计算最终的uplift估计值

$$\hat{\tau}(x) = g(x) \hat{\tau}_{0}(x) + (1-g(x)) \hat{\tau}_{1}(x)$$

这里x是所有个体的特征向量（同时包含对照组和实验组的个体），g(x)是倾向性得分函数。

注：倾向性得分的计算方法如下：

• 1. 取出所有个体的特征矩阵$X$，干预特征Treatment；选择预测模型，如Logistic和随机森林等。
• 2. 将干预特征作为目标值，利用模型对特征矩阵进行预测，得到所有个体的预测得分，即预测的概率值，取值在0-1之间，这个概率值就是倾向性得分。