显著性检验

1、显著性检验

只对犯第Ⅰ类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率的检验称为显著性检验。

2、假设检验原理

小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的。
如果一个小概率实验在一次随机试验中发生了，那么我们有理由拒绝原假设！

3、两类错误的定义

• 第Ⅰ类错误是原假设 $H_0$为真却被我们拒绝了，犯这种错误的概率用 $α$ 表示，所以也称 $α$ 错误或弃真错误；
• 第Ⅱ类错误是原假设为伪我们却没有拒绝，犯这种错误的概率用 $β$ 表示，所以也称 $β$ 错误或取伪错误。

4、两类错误的概率

• 对于一定的样本量 $n$ ，如果减少 $α$ 错误，就会增大犯 $β$ 错误的机会；若减少 $β$ 错误就会增大犯 $α$ 错误的机会。
• 增大样本量可以同时减少 $α$ 和 $β$ (贾俊平说)。(腾讯面试官说减少的是 $β$ )

5、两类错误的控制

• 一般来说，哪一类错误所带来的后果越严重，危害越大，在假设检验中就应当把哪一类错误作为首要的控制目标。
• 在假设检验中，一般首先控制犯 $α$ 错误。主要的原因在于，原假设是什么通常是明确的，而备择假设是什么通常是模糊的。

6、两类错误的地位

在进行显著性检验时，犯第Ⅰ类错误的概率是由我们控制的，$α$ 取得小，则概率$P\{当H_0为真时拒绝H_0\}$就越小，这保证了当原假设为真时错误地拒绝原假设的可能性很小。这意味着原假设是受到保护的，也表明原假设和备择假设的地位不是对等的。

7、“不拒绝” 与 “接受”

从假设检验的原理看，不拒绝原假设意味着我们所构造的与原假设相矛盾的事件没有发生，但可能会有许多其他的与原假设矛盾的小概率事件，我们没有也无法证实所有的这些小概率事件不会发生，因此，我们把假设检验中出现接受$H_0$ 的结果解释为“没有发现充足的证据反对$H_0$”，或更严格地的解释为，“在显著性水平 $α$ 下没有发现充足的证据反对$H_0$”，而不是“接受原假设$H_0$”，因为我们无法证明原假设是正确的。即接受备择假设一定意味着原假设错误；没有拒绝原假设并不能表明备择假设一定是错的。

8、假设检验的流程

• 根据实际问题的要求，提出原假设和备择假设；
• 给定显著性水平 $\alpha$ 以及样本容量$n$；
• 确定检验统计量及拒绝域的形式；
• 按$P${当 $H_{0}$ 为真拒绝 $H_{0}$} ≤ $\alpha$ 取样；
• 根据样本观察值做出决策，是接受原假设还是拒绝原假设。

9、$t$ 检验

• 适用场景：$t$ 检验的前提是要求样本服从正态分布或近似正态分布，不然可以利用一些变换（取对数、开根号、倒数等等）试图将其转化为服从正态分布是数据，如若还是不满足正态分布，只能利用非参数检验方法。
  当样本量大于$30$的时候，可以认为数据近似正态分布。

• 单样本均值检验（One-sample t-test）：用于检验 总体方差未知、正态数据或近似正态的 单样本的均值 是否与 已知的总体均值相等。

• 两独立样本均值检验（Independent two-sample t-test）：用于检验 两对独立的 正态数据或近似正态的 样本的均值 是否相等，这里可根据总体方差是否相等分类讨论。

• 配对样本均值检验（Dependent t-test for paired samples）：用于检验 一对配对样本的均值的差 是否等于某一个值。

• 回归系数的显著性检验（t-test for regression coefficient significance）：用于检验 回归模型的解释变量对被解释变量是否有显著影响。

10、样本量的确定

$$n = \frac{(Z_{\alpha} + Z_{\beta})^{2}*2\sigma^{2}}{\delta^{2}}$$

其中，$n$为样本量，$Z_{\alpha}$ 双侧临界值，$\alpha$ 一般为$0.05$，$Z_{\beta}$为单侧临界值，$\sigma$ 为标准差，$\delta$ 为实验组与对照组的差值。