常见分布函数及其性质

1、正态分布

1、数字特征
若 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则

• 期望：$E(X) = \mu $；
• 方差：$Var(X) = \sigma^{2}$。
  注：标准正态分布记为 $X \sim N(0,1)$

2、性质

• 每一个特定正态分布均可通过其均值μ、标准差σ来区分。他们分别确定了分布的位置和形状。
• 正态曲线的最高点在均值处，均值也是分布的中位数和众数。
• 不同分布的均值可以是任意数值：负数、零或正数。
• 正态概率分布是对称的。均值左边的线形是均值右边的线形的镜像。曲线的尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交。
• 标准差决定曲线的宽度。标准差值大产生较宽、较平的曲线，表明数据有更大的变异。
• 正态概率分布曲线下的总面积是1，对所有的连续型概率分布都是如此。
• 正态随机变量的概率由曲线下面积给出。

2、$t$ 分布

1、什么时候服从$t$分布？
当样本量较小，标准差未知，但已知来自正态总体时，样本服从$t$分布。

2、$t$分布的性质

• 分布左右对称；
• 最高点矮于$N(0,1)$，尾巴厚于$N(0,1)$；
• 期望为$0$，方差 $\frac{n}{n-2}$；
• 自由度越大，曲线分散程度越小，即越高窄；
• 正态分布是与自由度无关的一条曲线；t分布是依自由度而变的一组曲线。

3、两点分布

1、什么是伯努利试验？

• 在同样的条件下，重复的相互独立的进行的一种随机试验。
• 随机试验的结果只有两种结果（成功，或者失败）。

2、数字特征
若满足$X \sim B(1,p)$，则有

• 期望：$E(X) = p$；
• 方差：$Var(X) = p(1-p) = pq$；
  其中，$p$为每一次事件成功的概率，$q$为每一次事件失败的概率。

4、二项分布

1、什么是二项分布？

• 做某件事的次数是固定的，且$n$次事件是相互独立的（次数用n表示）。
• 每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败）。
• 每一次事件成功的概率都相等，成功的概率用$p$表示。
• 求发生$k$次的概率，服从二项分布。
  注: 伯努利分布是$n=1$时的二项分布的特殊情况。

2、数字特征
若满足 $X \sim B(n,p)$，则有

• 期望：$E(X) = np$；
• 方差：$Var(X) = np(1-p) = npq$；
  其中，$p$为每一次事件成功的概率，$q$为每一次事件失败的概率。

5、泊松分布

1、什么是泊松分布？

• 发生的事件是独立事件。
• 在任何相同的时间范围内，某事件发生的概率相同。
• 求某个时间范围内，发生某事件$k$次的概率，服从泊松分布。
  注: 当二项分布的$n$很大而$p$很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中$λ$为$np$。通常当$n \ge 20,p \le 0.05$时，就可以用泊松公式近似得计算。事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的。

2、数字特征
若满足 $X \sim P(\lambda)$，则有

• 期望：$λ$；
• 方差：$λ$；
  其中，参数$λ$是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
  注：泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。